જો z_1 = a + ib અને z_2 = c + id એ બે સંકર સં | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Since $\left|z_{1}ight|=\left|z_{2}ight|=1,$ we have

$z_{1}=\cos 	heta_{1}+i \sin 	heta_{1}, z_{2}=\cos 	heta_{2}+i \sin 	heta_{2}$

wher

Vedclass · Accepted Answer

આપેલ તમામ

Vedclass · Answer

Since $\left|z_{1}ight|=\left|z_{2}ight|=1,$ we have

$z_{1}=\cos 	heta_{1}+i \sin 	heta_{1}, z_{2}=\cos 	heta_{2}+i \sin 	heta_{2}$

where $	heta_{1}=\arg \left(z_{1}ight)$ and $	heta_{2}=\arg \left(z_{2}ight)$

Also, $z_{1}=a+ ib$ and $z_{2}=c+i d$

Therefore $a=\cos 	heta_{1}, b=\sin 	heta_{1}, c=\cos 	heta_{2}$

and $d=\sin 	heta_{2}$

Also, $\quad \mathrm{R}\left(\mathrm{z}_{1} \overline{\mathrm{z}}_{2}ight)=0$

$\Rightarrow \quad \mathrm{R}\left[\left(\cos 	heta_{1}+i \sin 	heta_{1}ight)\left(\cos 	heta_{2}-i \sin 	heta_{2}ight)ight]=0$

$\Rightarrow \quad \mathrm{R}\left[\left(\cos \left(	heta_{1}-	heta_{2}ight)+i \sin \left(	heta_{1}-	heta_{2}ight)ight]=0ight.$

$\Rightarrow \cos \left(	heta_{1}-	heta_{2}ight)=0 \quad \Rightarrow \quad 	heta_{1}-	heta_{2}=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow 	heta_{1}=	heta_{2}+\frac{\pi}{2}$

Now, $\omega_{1}=a+i c=\cos 	heta_{1}+i \cos 	heta_{2}=\cos 	heta_{1}+i \sin 	heta_{1}$

$\Rightarrow\left|\omega_{1}ight|=1 .$ Similarly, $\left|\omega_{2}ight|=1$

Next $\omega_{1} \bar{\omega}_{2}=\left(\cos 	heta_{1}+i \sin 	heta_{1}ight)\left(\cos 	heta_{2}-i \sin 	heta_{2}ight)$

${=\cos \left(	heta_{1}-	heta_{2}ight)+i \sin \left(	heta_{1}-	heta_{2}ight)} $

${=\cos \pi / 2+i \sin \pi / 2=0+i}$

$	herefore \quad \mathrm{R}\left(\omega_{1} \bar{\omega}_{2}ight)=0$.

જો $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એ બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $| z_1 | = | z_2 |=1$ અને $R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$, હોય તો સંકર સંખ્યાઓ $w_1 = a + ic$ અને $w_2 = b + id$ માટે

Similar Questions

જો $z_{1}=2-i, z_{2}=1+i,$ તો $\left|\frac{z_{1}+z_{2}+1}{z_{1}-z_{2}+1}\right|$ શોધો.

જો $z = x + iy$ હોય તો $|z - 5|$ = . . . .

જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ બે સંકર સંખ્યા હોય તો $|{z_1} - {z_2}|$ = . ..

જો $arg\,z < 0$ તો $arg\,( - z) - arg\,(z)$ = . . .

જો $z = x + iy\, (x, y \in R,\, x \neq \, -1/2)$ , હોય તો $z$ ની કેટલી કિમતો માટે ${\left| z \right|^n}\, = \,{z^2}{\left| z \right|^{n - 2}}\, + \,z{\left| z \right|^{n - 2}}\, + \,1\,.\,\left( {n \in N,n > 1} \right)$ થાય